שיעור 13 – מחזור של פונקציה

פונקציה טריגונומטרית חוזרת על עצמה. המחזור T הוא המרחק הקטן ביותר שאחריו הגרף חוזר בדיוק, כלומר f(x + T) = f(x) .

הפונקציות sin x ו־cos x חוזרות כל 2π , והפונקציה tan x חוזרת כל π .

סכום של פונקציות: אם לכל האיברים אותו מחזור, זה גם המחזור של הסכום. אם המחזורים שונים, המחזור של הסכום הוא המספר הקטן ביותר שהוא כפולה של כל המחזורים.

למה זה חשוב בחקירה? מה שקורה בגרף במחזור אחד חוזר בכל מחזור: אותן נקודות קיצון, אותה עלייה וירידה. לכן מספיק לחקור את הפונקציה על מחזור אחד. בבגרות נותנים לרוב תחום שאורכו מחזור אחד, כמו 0 ≤ x ≤ 2π .

בתוך הסינוס יש 3x , ולכן a = 3 :

בדיקה: נכתוב את הפונקציה ונסמן את x :

נציב x + 2π3 במקום x :

פותחים סוגריים:

הוספה של 2π לזווית לא משנה את הסינוס:

נשים לב ש־x2 = 12 · x , ולכן a = 12 :

חלוקה בחצי היא כפל ב־2:

הגרף "נמתח" – הוא חוזר על עצמו רק כל 4π .

בטנגנס המחזור הבסיסי הוא π . כאן a = 2 :

נמצא את המחזור של כל איבר. בשניהם a = 2 :

לשני האיברים אותו מחזור, ולכן זה גם המחזור של הסכום.

נמצא את המחזור של כל איבר:

המחזורים שונים. מחפשים את המספר הקטן ביותר שהוא כפולה של שניהם. המספר 2π מתאים: הוא כפולה של π , כי:

אחרי 2π האיבר הראשון השלים שני מחזורים והשני מחזור אחד – ושניהם חוזרים יחד.

כאן a = 4 :

אורך התחום הוא 2π . נחלק אותו באורך מחזור אחד:

כלומר בתחום הזה הגרף חוזר על עצמו 4 פעמים – ומספיק לחקור רבע ממנו.